Sistem Persamaan Linear Non-Homogen Gauss-Jordan

Posted: Maret 29, 2012 in Uncategorized

TUGAS ALJABAR LINIER

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

NON-HOMOGEN DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN

Disusun oleh :

Heru Febriyanto

Nathalina Muntia

Nur AisaH

Ibnu Ramzy Virgiawan

Fakultas Teknik

Universitas Satya Negara Indonesia

2011

BAB I

PENDAHULUAN

 

1.1 Latar Belakang

Laporan dan program ini merupakan tugas mata kuliah Aljabar Linier. Pembuatan laporan ini merupakan salah satu tugas yang harus dikumpulkan. Topik yang dibahas dalam laporan ini adalah penyelesaian sistem persamaan linear non-homogen dengan metode eliminasi Gauss-Jordan.

1.2 Tujuan

Pembuatan laporan ini walau awalnya sebagai tugas mata kuliah Aljabar Linier sebenarnya juga sangat membantu kelompok untuk memahami metode eliminasi Gauss-Jordan ini lebih baik. Tujuan pembuatan program, di luar alasan kewajiban (tugas), adalah membantu pengguna lainnya yang ingin menyelesaikan sistem persamaan linier.

1.3 Manfaat

Manfaat dari laporan serta program yang dibuat kelompok antara lain :

1.            Membantu memahami lebih lanjut penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss-Jordan.

2.            Membantu pengguna yang ingin menyelesaikan sistem persamaan linier.

3.            Membantu mempelajari langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

 

BAB III

PEMBAHASAN

2. 3 Sistem Persamaan Linear Non Homogen

Sebuah sistem persamaan linier dapat dikatakan nonhomogen apabila mempunyai bentuk :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

.               .               .               .               .

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

 

Kemungkinan-kemungkinan pemecahan SPL adalah:

  1. Tidak mempunyai penyelesaian.
  2. Mempunyai tepat satu penyelesaian.
  3. Mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.

Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan suatu SPL adalah eliminasi Gauss / Gauss-jordan. Prosedur yang digunakan dalam metode ini adalah dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk eselon baris (eliminasi Gauss) atau bentuk eselon baris tereduksi (eliminasi Gauss-Jordan). Proses ini dilakukan dengan menggunakan operasi baris elementer.

Operasi – operasi baris elementer yang dimaksud meliputi:

  1. Mengalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol.
  2. Menukarkan letak 2 baris.
  3. Menambahkan perkalian dari satu baris pada baris yang lain.

 

2.2 Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi.

Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.            Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2.            Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

3.            Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.            Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi.

Contoh soal:

Diketahui persamaan linear sebagai berikut:

x + 2y + 3z = 3

2x + 3y + 2z = 3

2x + y + 2z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z ?

Jawab:

1.            Ubah sistem persamaan linier di atas menjadi matriks augmentasi.

2.            Operasikan Matriks tersebut.

Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

 

Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1.

Nilai variabel x = 2, y = -1, dan z = 1 telah memenuhi persamaan 1, 2, dan 3.  Maka persamaan linear  non homogen diatas mempunyai jawab tunggal…

 

 

BAB III

PENUTUP

 

3.1 Kesimpulan

Sistem persamaan linier adalah kumpulan persaman-persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Sistem persamaan linier memiliki penyelesaian, yaitu himpunan angka yang akan memenuhi persamaan-persamaan tersebut jika disubstitusi.

Ada berbagai macam cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Salah satunya adalah dengan metode eliminasi Gauss-Jordan.

Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan operasi baris elementer untuk menghasilkan matriks

augmentasi yang berbentuk baris eselon yang tereduksi.

3.2 Saran-saran

Program yang dibuat diharapkan dapat berguna bagi orang lain. Namun program yang berhasil dibuat tetap memiliki beberapa kelemahan. Maka diharapkan program tersebut nantinya dapat diperbaiki lebih lanjut sehingga dapat menjadi lebih baik lagi.

Kelompok terutama kesulitan untuk mencari bahan dari buku-buku atau website internet yang

membahas mengenai penyelesaian sistem persamaan linier pada n variabel dari m persamaan. Walau akhirnya berhasil mendapatkan bahan yang diperlukan, namun tak banyak yang membahas. Sumber terutama hanya membahas penyelesaian sistem persamaan linier pada n variabel dan n persamaan.

Sebaiknya sumber-sumber juga membahas mengenai penyelesaian sistem persamaan linier pada n variabel dari m persamaan karena dapat juga dilakukan.

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s